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La medida del Radio de la Tierra

Documentación: ¿Quién era Eratóstenes?


A continuación desarrollamos una breve introducción al método empleado por Eratóstenes para calcular el radio de la Tierra. Para un mayor desarrollo, consultar las fichas de procedimiento: "Cómo explicar Eratóstenes" y "El método de Eratóstenes. Cálculos"

 

Antes que nada, ¿quién era  Eratóstenes?, y sobre todo: ¿cómo determinó el radio de la Tierra?

Eratóstenes nació en Cirene, una antigua ciudad griega en la actual Libia, probablemente en torno al año 276 a.C. Tras formarse con los mejores profesores y estudiar algunos años en la mismísima Atenas, Eratóstenes viajó en el 245 a.C. a Alejandría. Cinco años después se convertía en el tercer bibliotecario en la historia de la legendaria biblioteca de Alejandría, tras suceder a uno de sus antiguos maestros, el poeta y erudito Calímaco.

Supuestamente fue en la propia biblioteca de Alejandría, donde Eratóstenes leyó acerca de un lugar llamado Siena (hoy la actual Asuán, Egipto). En dicha ciudad, justo al mediodía del solsticio de verano, el Sol se reflejaba totalmente en las aguas de un profundo pozo y ninguna vara, ni objeto alguno, daba sombra. Es decir, ese día y a esa hora, los rayos del Sol caían completamente perpendiculares al suelo, o lo que es lo mismo, el Sol se encontraba en el cenit.


Eratóstenes observó que esto no ocurría en Alejandría, es decir, que al mediodía del solsticio de verano, una vara clavada en la tierra proyectaba una sombra, que las torres y los árboles también la proyectaban, y que en ningún pozo se reflejaba totalmente el Sol. En definitivas cuentas, al contrario que en Siena, en ese mismo instante, el Sol no se encontraba en el cenit de la ciudad de Alejandría.
 

 

Esta diferencia solo podía ser explicada si la Tierra no era plana, y asumiendo que Siena y Alejandría se encuentran en el mismo meridiano, es decir tienen la misma longitud geográfica (lo cual no es del todo cierto, pues distan unos 3º), Eratóstenes realizó una hipótesis genial: considerar que el Sol está lo suficientemente lejos como para que sus rayos lleguen a la Tierra completamente paralelos.


Bajo esta hipótesis, al mediodía del solsticio de verano, los rayos de Sol inciden directamente en Siena, pero hacen un ángulo con la vertical en Alejandría. Es fácil ver que, asumiendo que "líneas que cortan rectas paralelas forman ángulos opuestos iguales" (algo no evidente en la época de Eratóstenes), este ángulo es igual a la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría.
 

 



Eratóstenes dedujo que si lograba medir este ángulo, y por otro lado determinaba la distancia lineal entre Siena y Alejandría, podría estimar el radio de la Tierra. Bastaba con aplicar la ley de  "arcos de círculo relativos a ángulos iguales son semejantes":
 



Según el historiador Cleomedes, para el cálculo del ángulo, Eratóstenes midió la sombra que el Sol proyectaba al mediodía del solsticio de verano, sobre un scaphium o gnomon.  Otros historiadores defienden que midió la sombra de una torre. En cualquier caso, el ángulo viene dado  por la expresión:

 


Sea como fuere, Eratóstenes obtuvo una medida para la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría de 1/50 parte de la circunferencia, es decir, unos 7º 12'.


Pero, para completar el cálculo necesitaba medir de la distancia lineal entre Siena y Alejandría, algo complicado en una época donde no había GPS. El método empleado depende de la fuente. En la mayoría de los casos se asegura que lo obtuvo de la distancia estimada por las caravanas de camellos que comerciaban entre ambas ciudades, aunque perfectamente pudo ser un dato que obtuvo de la propia biblioteca de Alejandría. En cualquier caso, estimó una distancia de 5000 “estadios”.


¿Y que es un “estadio”?. Pues una medida de longitud de la época, que como era habitual, su valor depende de quien lo definiera. Por ejemplo, los estadios egipcios eran de 157 metros, mientras que para los griegos eran de unos 174m.


Independientemente de esto, Eratóstenes obtuvo un valor para el radio de la circunferencia terrestre de unos 252000 estadios. Dependiendo del valor que se le de finalmente a la unidad “estadio”, el resultado puede ser de una asombrosa precisión, incluso con un error menor del 1%, o algo menos exacto, con cerca de un 16% de error (el valor actual del radio medio de la Tierra es de 6371 Km.). En cualquier caso el método empleado por Eratóstenes es un alarde ingenio y de sencillez, y una extraordinaria aplicación del método científico.


Eratóstenes escribió los detalles de este experimento en su tratado “Sobre las medidas de la Tierra” el cual está perdido hoy en día. Sin embargo, algunos detalles de estos cálculos aparecen en trabajos de otros autores, como son Cleomedes, Teón de Esmirna y Estrabo, gracias a los cuales ha llegado hasta nuestros días.


A Eratóstenes también le debemos otros fantásticos trabajos, como la estimación de la distancia de la Tierra al Sol y a la Luna, la invención de la esfera armilar, o la famosa “Criba de Eratóstenes”, un algoritmo matemático capaz de darnos todos los números primos menores que un numero natural dado.


Eratóstenes murió en Alejandría, el año 194 a.C., a la edad de 82 años.
 

Para un desarrollo más exhaustivo del método y los cálculos realizados por Eratóstenes, leer las siguientes fichas de procedimiento:

 "Cómo explicar Eratóstenes"

"El método de Eratóstenes. Cálculos"

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